基本的にはRailsガイドの手順に従えば良いと思います。

ガイドの手順にもありますが、ぜひbin/rails app:updateコマンドを活用しましょう。

Rails 8.1への移行で対応が必要そうな個別の作業について、以下のコメントでそれぞれ取り上げますので、ご参考になれば幸いです。

Rails 8.1におけるconfig.action_dispatch.verbose_redirect_logs

config.action_dispatch.verbose_redirect_logsは、リダイレクトのソース位置を関連するログ行の下にログ出力するかどうかの設定です。

rails newで生成されるconfig/environments/development.rbにおいて、 8.1からは以下のようにこの設定を有効にするコードが追加されました（この変更のPRとこの変更のCommit）。

+  # Highlight code that triggered redirect in logs.
+  config.action_dispatch.verbose_redirect_logs = true
+

development環境でデバッグする際に使える情報が増える形になると思いますので、既存アプリでもこの設定を追加しても良いかもしれません。